Triángulos Rectángulo

El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto(α=90º).
Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º.
Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:
    Dibujo del triángulo rectángulo isósceles
  • Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos de 45º. Los dos catetosson iguales.
    • Dibujo del triángulo rectángulo escaleno
  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90º). Los lados también son diferentes.




Altura del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el catetoopuesto correspondiente. Por lo tanto, ha=b y hb=a. La altura associada a la hipotenusa es hc.
Las tres alturas confluyen en el ortocentro, H en el vértice C del ángulo recto.
Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.
Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura
La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.
Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).
Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de su área
Fórmula del área de un triángulo rectángulo

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.
Dibujo del triángulo rectángulo
Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos(a y b).
Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo a través del teorema de Pitágoras, poniendo la hipotenusa en función de los catetos.

Teorema de Pitágoras

Triángulo rectángulo
El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:
Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:
Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).
Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura
Fórmula del teorema de la altura

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.
Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.
En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).
Fórmula del teorema del cateto

Segundo teorema de Tales

Dibujo del Segundo Teorema de Tales
El segundo teorema de Tales está relacionado con los triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.
El teorema dice lo siguiente:
En una circunferencia de centro en O y diámetro AC, cualquier punto B de esa circunferencia no perteneciente a AC determina un triángulo rectánguloΔ ABC con el ángulo de 90° en B.

Demostración

Demostración geométrica del segundo teorema de Tales:
El segmento BO divide al triángulo Δ ABC en dos triángulos: Δ ABO y Δ OBC. Estos dos triángulos son isósceles, porque los lados OA, OB y OC son iguales. Los tres son radios r de la circunferencia.
Dibujo de la demostracion del Segundo Teorema de Tales
Por ser triángulos isósceles, tienen cada uno de ellos dos ángulos iguales: αy β.
Como en todo triángulo, los ángulos interiores del triángulo Δ ABC suman 180°:
Cálculo 1 de la demostración del Segundo Teorema de Tales
Dividiendo la igualdad por 2:
Cálculo 2 de la demostración del Segundo Teorema de Tales
Como α + β es el ángulo del Δ ABC en B, queda demostrado el segundo teorema de Tales.

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